Didattica 2010/11

Università degli Studi di Milano-Bicocca

Processi Stocastici

Laurea Magistrale in Matematica

Secondo semestre 2010/11

In collaborazione con Gianmario Tessitore

Foto di gruppo: uno e due.

[Se qualche persona ritratta nelle fotografie non gradisce che queste siano disponibili su questa pagina web, me lo segnali (per esempio scrivendomi un'email) e provvedo a rimuovere i collegamenti.]

Quinto appello (22 febbraio 2012)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Quarto appello (14 dicembre 2011)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Terzo appello (27 settembre 2011)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Secondo appello (2 settembre 2011)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Primo appello (4 luglio 2011)

Risultati e testo con soluzioni della prova scritta.

Programma del corso

Per il registro dettagliato delle lezioni, vedi sotto.

Testi consigliati

  • D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press (1991).
  • P. Baldi, Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Editrice, Bologna (2000).

Date degli esami

Primo appello
Prova scritta: lunedì 4 luglio 2011, ore 10.00, aula U1/11.
Prova orale: settimana 11-15 luglio 2011, aula U5-2107.

Secondo appello
Prova scritta: venerdì 2 settembre 2011, ore 10.00, aula U2/05.
Prova orale: lunedì 5 settembre 2011, ore 10.00, aula U5-2107.

Terzo appello
Prova scritta: lunedì 26 martedì 27 settembre 2011, ore 10.00, aula U2/05 U2/03.
Prova orale: venerdì 30 settembre 2011, ore 10.00, aula U5-2107.

Quarto appello
Prova scritta: mercoledì 14 dicembre 2011, ore 14.30, aula U9/14.
Prova orale: martedì 20 dicembre 2011, ore 9.30, aula U5-2094.

Quinto appello
Prova scritta: mercoledì 22 febbraio 2012, ore 14.00, aula da confermare.
Prova orale: lunedì 27 febbraio 2012, ore 9.30, aula U5-2107.

Materiale didattico

Dispense su moto browniano e integrazione stocastica [Versione 3.3]

Gli argomenti trattati a lezione corrispondono grossomodo ai primi sei capitoli delle dispense.

Fogli di esercizi

Prove d'esame (con soluzioni) del corso "Analisi stocastica"

Altro materiale

Orari delle lezioni

  • Lunedì 13:30-15:15 12:45-14:30, aula U5-2109
  • Martedì 14:30-16:15 13:30-15:15, aula U5-2109
  • Mercoledì 10:30-12:15 10:45-12:30, aula U5-2109
  • Giovedì 10:30-12:15 10:45-12:30, aula U5-2109

Prima lezione: lunedì 7 marzo 2011.

Ultima lezione: giovedì 9 giugno 2011.

Ricevimento

Su appuntamento, scrivendomi un'email.

Registro delle lezioni

  • 9 Giu. Esercizi (foglio n.8, esercizi 1, 2, 4).
  • 8 Giu. Il problema di Dirichlet in domini limitati: dimostrazione dell'unicità della soluzione e formula di rappresentazione. Introduzione al processo di Poisson. - Definizione del processo di Poisson come processo di Lévy "di conteggio". Dimostrazione che gli intertempi sono variabili i.i.d. esponenziali e che le distribuzioni marginali del processo sono Poisson.
  • 7 Giu. Esercizio (foglio n.7, esercizio 2 (a)). Moto browniano geometrico. - Formula di Ito per il moto browniano multidimensionale (enunciato). Il problema di Dirichlet in domini limitati: lemma preliminare.
  • 6 Giu. Dimostrazione della formula di Ito (seconda parte). Esercizio (foglio n.7, esercizio 1). - Spazi M2loc e M1loc. Processi di Ito e differenziale stocastico. Integrale rispetto a un processo di Ito. Variazione quadratica di un processo di Ito. Formula di Ito generalizzata (enunciato).
  • 1 Giu. Martingale locali. L'integrale stocastico di un processo in M2loc[0,T] è una martingala locale. Martingale locali dominate (risp. positive) sono martingale (risp. supermartingale). Introduzione alla formula di Ito. - La formula di Ito e il differenziale stocastico: enunciato e commenti. Dimostrazione della formula di Ito (prima parte).
  • 31 Mag. Località dell'integrale stocastico. Estensione dell'integrale stocastico a processi in M2loc[0,T]. - Proprietà dell'integrale stocastico di processi in M2loc[0,T]: convergenza in probabilità, tempi d'arresto, località (enunciati); approssimazione mediante somme di Riemann per integrandi continui e adattati. Esercizi (foglio n.6, esercizio 2).
  • 30 Mag. Additività dell'integrale stocastico rispetto agli estremi di integrazione. L'integrale stocastico di processi in M2[0,T] è una martingala continua di quadrato integrabile con variazione quadratica esplicita e ammette una modificazione continua. Integrale stocastico e tempi d'arresto (enunciato).
  • 26 Mag. L'integrale stocastico di processi in M2[a,b] ha media nulla. Se il processo integrando è deterministico, l'integrale stocastico (integrale di Wiener) è una variabile normale. Esercizi (foglio n.6, esercizio 4). - Esercizi (foglio n.6, esercizio 1; foglio n.5, esercizio 4).
  • 25 Mag. S[a,b] è un sottospazio vettoriale denso di M2[a,b]. - L'integrale stocastico di processi in S[a,b] è un operatore a valori in L2(Ω) lineare e isometrico. Definizione di integrale stocastico per processi in M2[a,b]. Prime proprietà (conseguenze dell'isometria).
  • 24 Mag. Estensione di isometrie densamente definite su spazi pseudometrici. Il caso delle isometrie lineari su spazi seminormati. - Spazi di processi M2[a,b] e S[a,b]. Lo spazio S[a,b] è contenuto in M2[a,b]. Definizione di integrale stocastico di processi in S[a,b].
  • 23 Mag. Il principio di riflessione per il moto browniano (dimostrazione). Martingale associate al moto browniano. - Principali risultati per martingale a tempo continuo: esistenza di una modificazione continua a destra, teorema di arresto, disuguaglianza massimale, variazione quadratica (enunciati). Probabilità di uscita del moto browniano da un intervallo.
  • 19 Mag. Esercizi (foglio n.5, esercizi 1, 2, 3, 6).
  • 18 Mag. Tempi d'arresto e loro proprietà. La proprietà di Markov forte per i processi di Lévy. Uguaglianza in legge di processi di Lévy. Il principio di riflessione per il moto browniano (enunciato ed euristica).
  • 17 Mag. Definizione di processo di Lévy (e di moto browniano) rispetto a una filtrazione {Gt}t ≥ 0. Indipendenza dalla σ-algebra iniziale G0. - Ampliamento alla filtrazione continua a destra {Gt+}t ≥ 0. Legge 0-1 di Blumenthal per i processi di Lévy. Esercizio (foglio n.5, esercizio 1(a)).
  • 16 Mag. Moto browniano d-dimensionale e sue proprietà. - La struttura misurabile dello spazio C([0,∞), Rd) e la misura di Wiener. Il principio di invarianza di Donsker (enunciato).
  • 12 Mag. Nozioni di modificazioni e indistinguibilità, continuità, misurabilità per processi stocastici. Filtrazioni e loro proprietà (completezza continuità a destra, ipotesi standard, ampliamento standard). Processi adattati e progressivamente misurabili. Legami tra continuità, adattamento e misurabilità progressiva di processi stocastici.
  • 11 Mag. Conseguenze della legge del logaritmo iterato per il moto browniano. Continuità delle traiettorie di un processo e misurabilità di funzionali. σ-algebra associata a un processo e sua interpretazione. - Indipendenza di processi stocastici. Processi congiuntamente gaussiani sono indipendenti se e solo se sono scorrelati (enunciato). Filtrazione naturale di un processo stocastico indicizzato da [0,∞). Riformulazione alternativa del moto browniano: indipendenza degli incrementi espressa tramite la filtrazione naturale.
  • 5 Mag. Esercizi (foglio n.4, esercizi 1, 3, 4, 5). Legge del logaritmo iterato per il moto browniano (enunciato).
  • 4 Mag. Completamento della costruzione del moto browniano. Funzioni a variazione finita e integrale di Riemann-Stieltjes. - Variazione quadratica del moto browniano. Corollario: q.c. le traiettorie del moto browniano sono a variazione infinita in ogni intervallo.
  • 3 Mag. Esistenza del moto browniano: - costruzione di Paul Lévy.
  • 2 Mag. Moto browniano: leggi finito-dimensionali e legge del processo. Caratterizzazione del moto browniano come processo gaussiano. - Proprietà di invarianza del moto browniano (dimostrazione per esercizio). Continuità di t B1/t in t=0. Legge dei grandi numeri per il moto browniano.
  • 28 Apr. Esercizi (foglio n.3, esercizi 1(abcdef), 2(abcd), 3, 4).
  • 27 Apr. Spazi di probabilità completi e loro proprietà (cenni). Definizione di processo stocastico. Spazio delle traiettorie, legge del processo e leggi finito-dimensionali. - Processi stocastici gaussiani. Moto browniano: motivazioni, definizione, leggi finito-dimensionali.
  • 21 Apr. Richiami: nozioni di convergenza per variabili aleatorie e loro relazioni; funzioni caratteristiche e loro proprietà. - Richiami: variabili aleatorie normali reali e vettoriali e loro proprietà. Proposizione: il limite in legge di vettori aleatori normali è normale.
  • 20 Apr. Processi di ramificazione di Galton-Watson Zn e martingala associata Mn := Zn / μn (con μ := E(Z1)). Probabilità di estinzione ρ e variabile limite M := limn → ∞Mn. Nei casi subcritico (μ < 1) e critico (μ = 1) si ha ρ = 1. - Nel caso supercritico (μ > 1) si ha ρ < 1 e P(M = 0) ∈ {ρ, 1}.
  • 19 Apr. Urna di Polya: posto M := limn → ∞ (X1 + ... + Xn)/n (che esiste q.c.), calcolo della legge di M e della legge condizionale di X = (X1, X2, ...) dato M. - Lemma: due probabilità boreliane su uno stesso spazio metrico che coincidono sulle funzioni continue sono uguali. Esercizi (foglio n.2, esercizio 2(bcde)).
  • 18 Apr. La legge forte dei grandi numeri: dimostrazione di Kolmogorov (troncamento + disuguaglianza massimale applicata su blocchi [2i-1, 2i]). - Calcolo della distribuzione congiunta degli esiti delle prime n estrazioni nell'urna di Polya: P(X1 = x1, ..., Xn = xn) = sn! (n-sn)!/(n+1)! dove sn := x1 + ... + xn.
  • 14 Apr. Esercizi (foglio n.2, esercizi 3, 4, 2(a)).
  • 13 Apr. Tempi d'arresto, σ-algebre associate e loro proprietà. Teorema d'arresto opzionale per submartingale e tempi d'arresto limitati. - Teorema d'arresto opzionale per martingale uniformemente integrabili. La legge forte dei grandi numeri: considerazioni preliminari.
  • 12 Apr. Variante dell'esercizio 3 nel foglio n.1. Decomposizione di Doob di una submartingala. Variazione quadratica (processo crescente) ⟨M⟩ di una martingala M (a tempo discreto) in L2 e sue proprietà. - Teorema: legame tra la convergenza di una martingala M in L2 e la finitezza di ⟨M⟩. Esempio (data una successione reale (an) con ∑ an2 = ∞ e date v.a. {Xn} i.i.d. centrate, limitate, con varianza 1, q.c. la successione n → ∑1 ≤ k ≤ n ak non è limitata (dunque la serie ∑ an non converge a un limite finito).
  • 11 Apr. Esercizi (foglio n.1). Decomposizione di Doob di un processo adattato.
  • 7 Apr. Disuguaglianza di Doob in Lp per submartingale positive: per p>1 una martingala converge in Lp se e solo se è limitata in Lp. Il caso L2: ortogonalità degli incrementi. - Esercizi (se {Xn} sono v.a. indipendenti in L2 con media nulla e varianze σn2, posto Sn := X1 + ... + Xn, Nn := Sn2 - n è una martingala; data una successione reale (an) tale che ∑ an2 < ∞ e date v.a. {Xn} i.i.d. centrate con varianze limitate, la serie ∑ an converge q.c.; esercizio sul filtraggio: condizioni perché E(X | Fn := σ(Y1 = X + ξ1, ..., Yn = X + ξn)) → X, dove {X, {ξi}i ≥ 1} sono v.a. indipendenti con X ~ N(0,σ2), ξi~ N(0,εi2).)
  • 6 Apr. Riepilogo sui teoremi di convergenza per (sub,super)martingale. Esercizi (se X è una v.a. reale tale che σ(X) è triviale, allora X è q.c. costante; data una successione di partizioni di [0,1) con passo tendente a zero, la σ-algebra generata dalle partizioni coincide con i boreliani di [0,1); se X è una v.a. generica e Y è una v.a. reale σ(X)-misurabile, allora Y=g(X) con g misurabile). - Disuguaglianza massimale per submartingale. Corollario: disuguaglianza di Kolmogorov per somme di v.a. indipendenti. Disuguaglianza di Doob in Lp per submartingale positive (lemma preliminare).
  • 5 Apr. Teorema di convergenza di Lévy "upward": E(Z|Fn) → E(Z|F) per ogni Z in L1. Corollario: legge 0-1 di Kolmogorov. Esempio: f:[0,1) -> R in L1(Leb) e filtrazione generata da una successione crescente di partizioni. - Teorema di convergenza di Lévy "downward": E(Z|G-n) → E(Z|G-∞) per ogni Z in L1. Corollario: legge forte dei grandi numeri.
  • 4 Apr. Il problema dell'Enterprise: dimostrazione che P(τ <∞) < r/R (disuguaglianza stretta); strategie ε-optimali. - Una successione convergente in L1 è uniformemente integrabile e converge in probabilità. Caratterizzazione: una martingala X è uniformemente integrabile ⇔ Xn = E(Z|Fn) con X in L1 ⇔ Xn → X q.c. e in L1 (nel qual caso Xn = E(X|Fn)).
  • 31 Mar. Calcolo delle probabilità di uscita da un intervallo per una passeggiata aleatoria semplice (a)simmetrica sugli interi. - Il problema dell'Enterprise: stima dall'alto r/R per la probabilità di raggiungere il sistema solare.
  • 30 Mar. Commenti ed esempi sul teorema di convergenza per supermartingale limitate in L1. Richiami sulle convergenze in probabilità e q.c.. - Integrabilità uniforme: definizione, proprietà, esempi (famiglie di variabili aleatorie dominate, limitate in Lp con p>1, speranze condizionali). Una successione uniformemente integrabile che converge in probabilità converge in L1.
  • 29 Mar. Calcolo della probabilità di raggiungere il livello 1 per una passeggiata aleatoria semplice (a)simmetrica sugli interi. - Disuguaglianza di upcrossing per supermartingale. Teorema di convergenza per supermartingale limitate in L1.
  • 28 Mar. Lemma: se τ è un tempo d'arresto t.c. P(τ ≤ n+N | Fn) ≥ ε per ogni n ≥ 0, allora E(τ)< ∞. Esempio: calcolo del tempo medio di prima apparizione - della parola ABRACADABRA. Esempi con i lanci di monete: E(τTT)=6, E(τCT)=4. Esempio: martingala esponenziale associata a una passeggiata aleatoria.
  • 24 Mar. Esercizi. Se X ~ Po(λ), Y ~ Po(μ) sono indipendenti, la legge condizionale di X dato T := X+Y è Bin(T, λ/(λ+μ)). Se X,Y ~ N(0,1) sono indipendenti, la legge condizionale di X dato T:=X+Y è N(T/2,1/2) (esercizio risolto in due modi diversi). Esercizio per casa: date X,Y ~ N(0,1) congiuntamente normali con cov(X,Y) = ρ, la legge condizionale di X dato Y è N(ρY,1-ρ2). - Calcolo della speranza condizionale di X data Fn := σ(Y1 = X + ξ1, ..., Yn = X + ξn) dove X, {ξi}i ≥ 1 sono v.a. indipendenti con X ~ N(0,σ2), ξi~ N(0,εi2). Calcolo della speranza condizionale rispetto alla σ-algebra dei boreliani simmetrici di Ω := [-1,1] (munito della probabilità Leb/2).
  • 23 Mar. Una funzione convessa (risp. convessa e crescente) di una martingala (risp. submartingala) è una martingala (risp. subartingala). L'integrale stocastico discreto di un processo prevedibile (risp. prevedibile e positivo) rispetto a una martingala (risp. submartingala, supermartingala) è una martingala (risp. submartingala, supermartingala). Definizione di tempo d'arresto. Esempio: tempo d'ingresso di un processo adattato. - Martingale (risp. submartingale, supermartingale) arrestate a un tempo d'arresto restano tali. Teorema d'arresto: condizioni sufficienti affinché E(Xτ) = E(X0).
  • 22 Mar. Lemma: se X e T sono indipendenti, la legge condizionale di φ(T,X) dato T=t è la legge di φ(t,X). Definizioni di processo stocasico, filtrazione, processo adattato, filtrazione naturale. Definizione di (sub-, super-)martingala e prime proprietà. - Esempi di martingale: somma (risp. prodotto) di v.a. indipendenti con media 0 (risp. media 1); processi della forma E(X|Fn). Interpretazione di una martingala (risp. submartingala, risp. supermartingala) come gioco equo (risp. favorevole, risp. sfavorevole). Processi prevedibili. Integrale stocastico discreto.
  • 21 Mar. Esercizio sulla speranza condizionale (E(max(X,Y)|X)=X + eλX/λ dove Y~Exp(λ) e Y è indipendente da X). Nucleo di probabilità. Versione regolare della legge condizionale di una v.a. X data una v.a. T: definizione e proprietà. - Legge condizionale per variabili (X,T) assolutamente continue e calcolo di E(φ(T,X)|T). Esempio: se X,Y~Exp(λ) sono indipendenti, la legge condizionale di X dato T=X+Y è uniforme su [0,T].
  • 16 Mar. Speranza condizionale rispetto a(lla σ-algebra generata da) una variabile aleatoria. Esempio: E(X1 | Sn) con Sn := X1 + ... + Xn passeggiata aleatoria. - Notazione E(X|T=t). Teorema: E(φ(T,X)|G) = h(T) dove h(t) := E(φ(t,X)) se T è G-misurabile e X è indipendente da G. Esempio: nell'urna di Polya E(Mn+1 | Gn) = Mn dove Mn è la frazione di palle bianche nell'urna dopo l'n-esima estrazione e reimmissione.
  • 15 Mar. Proprietà della speranza condizionale: Lipschitzianità in Lp, teorema di convergenza dominata condizionale, proprietà di raffinamento e misurabilità. - Proprietà della speranza condizionale: caso di σ-algebre indipendenti; caratterizzazione alternativa (E(XZ)=E(E(X|G)Z) per ogni v.a. Z che sia G-misurabile). Probabilità condizionale (cenni).
  • 14 Mar. Esercizio sul lemma di Borel-Cantelli (se Xn sono v.a. i.i.d. Exp(λ) allora limsup Xn = 1/λ q.c.). Esistenza, unicità q.c. e monotonia della speranza condizionale. - Proprietà della speranza condizionale: proprietà elementari, linearità, Jensen, teorema di convergenza monotona condizionale, lemma di Fatou condizionale.
  • 9 Mar. Richiami: indipendenza di σ-algebre, variabili aleatorie ed eventi, scorrelazione, misura prodotto (1.4.1, 1.4.2, 1.4.3 delle dispense). - Richiami: lemma di Borel-Cantelli (1.4.5 delle dispense). Introduzione alla speranza condizionale. Definizione di speranza condizionale. Lemma preliminare (se E(X 1A) ≥ E(Y 1A) per ogni A in una σ-algebra che rende X e Y misurabili, allora X ≥ Y q.c.).
  • 8 Mar. Esempi ed esercizi. Richiami: varianza e covarianza, teoremi di convergenza (dominata, Fatou, monotona) (1.1.5, 1.1.6 delle dispense). - Richiami: disuguaglianze (Markov, Chebychev, Jensen, Hölder), legge di una variabile aleatoria, probabilità assolutamente continue, indipendenza di σ-algebre, variabili aleatorie ed eventi (1.2.7, 1.3.1, 1.3.3, 1.4.1 delle dispense).
  • 7 Mar. Presentazione del corso. Richiami: spazi misurabili, applicazioni misurabili (1.1.1, 1.1.2 delle dispense). - Richiami: misura e probabilità, variabili aleatorie, integrale e valore atteso, spazi Lp (1.2.1, 1.2.2, 1.2.4, 1.2.5 delle dispense).
A photo of me - by Noemi Kurt