Il prossimo incontro sarà lunedì 17/01/2011. Si discuterà della teoria dei sistemi Hamiltoniani con G-simmetrie.
Buone Feste!
Introduzione al corso: l'obiettivo del corso è di illustrare alcuni
aspetti fondamentali della moderna teoria dei sistemi dinamici Hamiltoniani.
Il punto di visto sarà prevalentemente geometrico.
La prima parte del corso verterà su richiami della teoria delle
equazioni di Eulero--Lagrange e di Hamilton
della Meccanica Classica, sulle loro
proprietà (e.g., il teorema di Nöther) e sulla loro
formalizzazione intrinseca nel quadro della geometria differenziale.
Nel "core" corso verranno discussi schemi per la soluzione delle equazioni di
Hamilton (metodo di Hamilton-Jacobi e teoria di Lax).
Conoscenze richieste: il contenuto dei corsi di Analisi, Geometria e
di Sistemi Dinamici e Meccanica Classica della Laurea di Primo Livello.
Testi: per buona parte del corso verranno fornite delle dispense.
In particolare si segnalano le dispense del corso di Meccanica Analitica di
B. Dubrovin (che si possono recuperare dal sito
http://people.sissa.it/~dubrovin/bd_courses.html
Alcuni argomenti sono trattati anche in queste
note
che peraltro rivestono a tutt'oggi (11/06/08) un carattere un po'
preliminare.
Entrambe queste dispense contengono anche materiale non trattato al corso.
Altri riferimenti
bibliografici:
- V. I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti
(Roma)
-
A. Giorgilli, Dynamical Systems, Part I: Exponential stability of Hamiltonian systems. In: Dynamical systems. Part I. Pubbl. Cent. Ric. Mat. Ennio De Giorgi (Pisa).
-
B. A. Dubrovin, I.. M. Krichever, S. P. Novikov, Integrable systems. In Dynamical systems, IV, 177--332, Eniclopædia Mat. Sci., 4, Springer-Verlag, (Berlin).
-
A.Fasano, S.Marmi, Meccanica analitica, Boringhieri (Torino),
-
S. Benenti, Modelli Matematici della Meccanica, Vol. II. Celid (Torino).
Esame : la modalità d'esame è orale.
Lo studente
prepararà per l'esame un breve elaborato ("tesina") scritto
su un argomento concordato con il docente e presenterà la risoluzione di
almeno un problema scelto tra quelli proposti più sotto.
Tali elaborati saranno parte integrante dell'esame. Gli elaborati dovranno
essere consegnati (o inviati via e-mail) almeno un paio di giorni prima della
data concordata per l'orale.
La lista delle tesine e gli esercizi contenuti nel file più è
ancora preliminare (11/06/08).
Possibili soggetti per le Tesine:
-
Formulazione variazionale delle equazioni di Hamilton (paragrafo 3.3 del testo
di Dubrovin)
-
Sottovarietà Lagrangiane (paragrafo 3.9 del testo di Dubrovin)
-
Corpo rigido in dimensione arbitraria (paragrafo 4.4 del testo di Dubrovin)
-
Parentesi di Poisson Magnetiche (Sezione 2 delle note)
-
Formulazione del sistema di Toda con matrici 2 x 2
(Sezione 8.1 delle note).
-
Sistemi con simmetrie di Lie (G-simmetrie)
(e.g., sezione 10.2 delle note e Paragrafo 3.8 del
testo di Dubrovin)
-
Il modello di Calogero-Moser (sezione 10.3 delle note e/o paragrafo 4.3
del testo di
Dubrovin - si può consultare anche il testo "Integrable Systems
of Classical Mechanics and Lie Algebras", di A. M. Perelomov, 1990,
sezioni 3.1 e 3.2).
Esercizi:
Si veda la lista degli Esercizi TSD ,
o anche, dal testo di Dubrovin:
Numeri 2.10.4, 2.10.5, 3.1.8, 3.5.10, 3.6.21, 3.6.22, 3.12.2, 3.12.3, 3.14.3,
3.15.3, 3.15.5,3.15.6
Gregorio Falqui
Last modified: Wed Oct 3 11:59:22 CEST 2007