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  Anno Accademico 2009-2010 Dettagli sul programma del modulo di Matematica discreta

  • Crediti:

    6

  • Conoscenze:

    conoscenze di matematica di base (Scuola Superiore).

  • Abilita':

    uso delle tecniche di logica in un ragionamento matematico; tecniche di dimostrazione; linguaggio degli insiemi; nozioni introduttive su relazioni, grafi e reticoli; insieme delle classi di resto modulo n; matrici e sistemi lineari.

  • Docenti:

    Proff. F. Dalla Volta, M. Avitabile.

  Programma

  1. Elementi di logica delle proposizioni.

     Cenni di logica formale. Operazioni tra proposizioni: congiunzione, disgiunzione, o esclusivo, implicazione materiale, doppia implicazione, implicazione contronominale, proposizioni composte. Equivalenza di proposizioni: tautologie e contraddizioni, dimostrazioni dell'equivalenza di proposizioni. Quantificatori: quantificatore universale e quantificatore esistenziale; verità e falsità di proposizioni contenenti quantificatori, quantificatori multipli, negazione di un quantificatore.
     Tecniche di dimostrazione: deduzioni logiche fondamentali, dimostrazioni dirette e indirette, dimostrazioni per assurdo, dimostrazioni per induzione (prima e seconda forma). Esempi di deduzioni errate.

  2. Insiemi.

     Come si denota un insieme, operazioni tra gli insiemi. Corrispondenze e applicazioni. Prodotto cartesiano, corrispondenze e relazioni. Applicazioni: iniettività, suriettività, biiettività. Applicazioni composte. Cardinalità di insiemi. Cenni di analisi combinatorica .

  3. Numeri naturali e numeri interi.

     Divisione tra numeri interi, divisori e multipli, numeri primi (teorema fondamentale dell'aritmetica), esistenza di infiniti primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo, algoritmo euclideo per il calcolo del MCD, identità di Bezout. Principio di induzione: prima e seconda forma.

  4. Insiemi e relazioni.

     Grafo di una relazione. Equivalenze e partizioni, insieme quoziente. Insieme delle classi di resto modulo n. Ordinamenti: massimo, minimo, elemento massimale, elemento minimale, maggiorante, minorante, estremo inferiore, estremo superiore. Cenni sui reticoli.

  5. Grafi e strutture algebriche.

     Reticoli, reticoli booleani. Cammini e circuiti euleriani, alberi e grafi piani. Insiemi dotati di una operazione: gruppi. Insiemi dotati di più operazioni: anelli, campi. Esempi.

  Testi consigliati:

  1. F.Dalla Volta, M. Rigoli, Elementi di Matematica discreta e Algebra lineare, Pearson Education, 2007;
  2. A. Facchini, Algebra e matematica discreta, Decibel-Zanichelli;
  3. K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, McGraw-Hill (in particolare per gli elementi di logica).