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Componenti del gruppo di ricerca: M. Cazzola, F. Dalla Volta, L. Di Martino, Th. Weigel, A. Pasotti, M.A. Pellegrini
Il
gruppo di ricerca in ALGEBRA presso il Dipartimento di Matematica e
Applicazioni è stato parte integrante
dell’unità locale di Milano, in
seno al
PRIN biennale 2002 ‘Teoria dei Gruppi e
Applicazioni’. In particolare
L. Di
Martino, responsabile dell’unità, è
stato altresì Coordinatore
Scientifico del
suddetto Progetto di Ricerca di Interesse Nazionale.
Il
gruppo di ricerca in ALGEBRA ha affrontato problemi tipici della
ricerca
corrente in ambito internazionale, con particolare riferimento alle
seguenti
aree tematiche.
Gruppi di tipo Lie:
1)
Spettri di elementi nelle rappresentazioni dei gruppi di Chevalley.
Notevoli
risultati sono stati ottenuti negli ultimi anni sugli spettri degli
elementi e
sul comportamento asintotico delle molteplicità degli
autovalori nelle
rappresentazioni dei gruppi classici (cfr. ad es. L. Di Martino, A.E.
Zalesskii, Minimum polynomials and lower bounds for eigenvalue
multiplicities
of prime-power order elements in representations of classical groups,
J.
Algebra 243 (2001), 228-263, in cui si è provato un un
teorema 'di tipo
Hall-Higman'). In tempi recenti si è trattato il caso di
elementi
unipotenti,
ottenendo risultati conclusivi di tipo esatto sullo spettro e stime di
tipo
asintotico sulle molteplicità per le rappresentazioni di
gruppi
ortogonali,
simplettici e unitari in ‘cross characteristic’
(cfr. [DM-Z]).
2)
2-ricoprimenti di gruppi finiti di tipo Lie.
Due sottogruppi propri H,K di un gruppo G costituiscono un 2-ricoprimento di G se ogni elemento di G appartiene a un coniugato di H o K. Si è affrontato il problema di determinare tutti i 2-ricoprimenti dei gruppi finiti di tipo Lie mediante coppie di sottogruppi massimali. In [B-L-W] il problema è stato risolto nel caso “generico”.
3) Caratteri irriducibili minimali di gruppi di tipo Lie.
Sia V
uno spazio vettoriale di dimensione finita su C. Un
sottogruppo di GL(V) si dice irriducibile minimale se è
irriducibile su
V, ma
ogni suo sottogruppo proprio è riducibile. Similmente, si
dice che il
corrispondente carattere di G è irriducibile minimale. Lo
studio dei
gruppi
irriducibili minimali, oltre a un interesse intrinseco, è
collegabile
allo
studio di immersioni irriducibili (nell'ambito dello studio dei
sottogruppi
massimali dei gruppi finiti), e ad applicazioni computazionali. In
particolare
F. Dalla Volta, L. Di Martino e A. Previtali hanno classificato i
gruppi
irriducibili minimali (non semplici a zoccolo non risolubile) di grado
prodotto
di due primi. Questi e altri risultati motivano lo studio sistematico
della
classe dei caratteri unipotenti nei gruppi di tipo Lie, iniziato da M.
A.
Pellegrini (cfr. [P]).
4)
Riconoscimento di
gruppi generati da insiemi di
trasvezioni.
Vari
autori hanno contribuito alla classificazione dei gruppi lineari
irriducibili
generati da trasvezioni (McLaughlin, Piper, Wagner, Pollatsek,
Zalesskii), e
più in generale (Thompson, Aschbacher, Kantor, Cooperstein)
alla
classificazione
dei gruppi irriducibili generati da 'root subgroups'. Generalizzando in
modo
opportuno un approccio ‘graph-theoretic’ introdotto
da Brown e
Humphries si
sono fornite condizioni necessarie e sufficienti affinché un
insieme di
trasvezioni in SL(n,K), K un campo finito di caratteristica p, generi
un gruppo
isomorfo a un gruppo lineare speciale SL(m,L) per qualche m e qualche
sottocampo L di K (cfr. [DM-P-R]).
Di particolare interesse è lo studio di principi di dualità. Si sono studiati principi di dualità formulabili in termini di categorie derivate con un’operazione di dualità, che generalizzano l’usuale nozione di dualità di Poincaré. In [W2] si sono studiate le immagini omomorfe di p-dimensione uno di un gruppo di p-dualità di Poincaré di dimensione 2 (si tratta di un problema legato a questioni di geometria aritmetica). In [W4] si sono investigati gruppi discreti di dualità che non sono necessariamente gruppi di dualità di Poincaré.
Funzione
zeta probabilistica di un gruppo finito o profinito:
Per un
gruppo profinito risolubile, la funzione zeta si può
interpretare in
termini
coomologici, e questo fatto può essere sfruttato per
calcolare
esplicitamente P_G(t)
in alcuni casi (cfr. [W1]).
b) I
cifrari a blocchi, strumenti matematici fra i più usati
nella
crittografia
simmetrica a scopi non-militari (e.g. DES (Data Encryption Standard) e
AES
(Advanced Encryption Standard), sono strutturati logicamente come una
catena di
permutazioni (round functions) da applicare a un messaggio in chiaro,
dipendenti da parametri noti come ‘chiavi’.
Affinché un cifrario a
blocchi sia
sicuro è necessario che le permutazioni generate variando
nell'insieme
delle
chiavi formino un sottogruppo del gruppo simmetrico
‘abbastanza grande’
(e.g.
il gruppo alterno). In [C-DV] si è provato che le round
functions del
sistema
simmetrico PGM recentemente introdotto da Magliveras generano il gruppo
simmetrico. L’attività di ricerca in questo ambito
è centrata sulla
ricerca di
proprietà gruppali a cui debbano soddisfare le round
functions, per
garantire
che il gruppo da esse generato soddisfi requisiti di sicurezza.
Proprietà
combinatorie in gruppi finiti
Dato un
gruppo G, una mappa bijettiva f da G a G si dice completa, se anche la
mappa
che manda x in G in xf(x) è bijettiva. Un gruppo ha una
mappa completa
sse la
sua tavola di moltiplicazione è un quadrato latino con
compagno
ortogonale.
Hall e Paige nel 1955 hanno provato che un gruppo di ordine pari che
ammetta
una mappa completa ha 2-sottogruppi di Sylow non-ciclici, congetturando
che
tale condizione sia anche sufficiente per l’esistenza di una
mappa
completa. Le
mappe complete hanno inoltre applicazioni in teoria dei codici, e negli
anni
’80 sono state studiate
da M.
Aschbacher. La congettura di cui sopra è stata testata per
alcune
classi di
gruppi semplici
Lavori
pubblicati o in corso di pubblicazione su riviste internazionali:
[DM-P-R]
L. DI MARTINO, A. PREVITALI, R.
RADINA, Sets of transvections generating subgroups isomorphic to
special linear
groups, Comm. Algebra (2005)
[W-Z]
Th.
WEIGEL, P. ZALESSKII, Profinite groups of
finite cohomological dimension, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser.I, 338(5),
(2004),
353-358.
[W1]
Th.
WEIGEL, On the probabilistic zeta-function of
pro(finite-soluble) groups, Forum Math. 17, (2005), p.669-698.
[W2]
Th
.WEIGEL, Maximal l-Frattini quotients of
l-Poincaré duality groups of dimension 2, Arch. Math. 85,
(2005),
p.55-69.
Preprints:
[B-L-W]
D.
BUBBOLONI, M.S. LUCIDO, Th. WEIGEL, Generic
2-coverings of finite groups of Lie-type.
[DM-Z]
L. DI MARTINO, A. E. ZALESSKII, Lower bounds for
eigenvalue multiplicities of elements of prime power order in
representations
of classical groups, submitted.
[P]
M.A.
PELLEGRINI, A generalized Cameron-Kantor
theorem. Preprint.
[W3]
T.
WEIGEL, On the universal Frattini extension of
a finite group, submitted.
[W4]
T.
WEIGEL, On Poincaré duality and derived
categories with self-duality. Preprint.
[DV-S]
F.
DALLA VOLTA, J. SIEMONS, On Minimally
Transitive Permutation Groups, submitted.
Partecipazioni
e comunicazioni a Convegni:
Convegno
di Teoria dei Gruppi, Ischia 2004 (4/2004)
Convegno
su Lie Algebras, their classifications and applications, Braunschweig,
5/2004:
Comunicazione
di Th. Weigel su Powerful p-central groups and Lie Algebras)
Convegno
Internazionale ‘Groups in Bressanone’, 6/2004 (L.
Di Martino e Th.
Weigel,
membri del Comitato Organizzatore)
Università
di Firenze, 11/2004: Conf. di Th. Weigel su Poincarè
dualità esplicita
per i
gruppi di Fuchs
Workshop
su Teoria dei Gruppi e Applicazioni, Napoli 25-27 novembre 2004.
Comunicazioni
di Dalla Volta.
5-Universitäten-Tagung,
Würzburg, 12/2004 (comunicazione
id Th. Weigel
su:Maximale Frattini-Quotienten pro-endlicher
Poincarè-Dualitätsgruppen)
MECCANICA
ANALITICA E SISTEMI DINAMICI
Componenti del
gruppo di ricerca : A.
Giorgilli, F. Magri, P. Lorenzoni, D. Noja, G. Ortenzi, S.
Paleari, T. Penati, R. Ricca.
La
ricerca si è concentrata nei seguenti campi.
1. Geometria
dei sistemi integrabili.
Sono
stati messi a punto alcuni algoritmi algebro-geometrici per decidere se
un dato
sistema integrabile sia risolubile per separazione di variabili.
L'algoritmo si
basa sull'interpretazione geometrica delle condizioni di separabilita'
di
Levi-Civita mediante un opportuno operatore di ricorrenza.
L’algoritmo e l'interpretazione
geometrica delle condizioni
di Levi-Civita sono stati presentati per la prima volta in (7).
2. Dinamica dei
sistemi a molti corpi.
Con
metodi numerici della dinamica delle catene non-lineari sono stati
studiati i
fenomeni di metastabilità su tempi esponenziali di modelli
del tipo
Fermi-Pasta-Ulam (2-18). Questi lavori hanno portato a congetturare uno
“scenario metastabile” di grande rilevanza per le
sue implicazioni nel campo
della Meccanica Statistica. Il principale risultato è stato
di mettere in luce
il “congelamento”, al decrescere
dell’energia specifica, della dinamica di
questa classe di sistemi anche nel limite termodinamico (14).
3. Campi e
particelle.
Sono
state applicate tecniche della teoria delle perturbazioni singolari di
operatori anti e autoaggiunti a modelli di teoria dei campi classici
come
strumento per affrontare il problema delle divergenze ultraviolette ed
infrarosse nei modelli di Pauli Fierz. L’obiettivo di queste
ricerche è di dare
una formulazione rigorosa alla dinamica del campo elettromagnetico in
interazione con particelle cariche. In questo contesto, in (16), sono
stati
dimostrati alcuni risultati generali di esistenza e unicità
della soluzione
dell’equazione delle onde con nonlinearità
concentrate in insiemi discreti di
punti, e si sono fornite alcune formule di rappresentazione di tali
soluzioni.
4. Topologia dei
sistemi vorticosi.
In
(17) è stato condotto uno studio approfondito degli stati di
equilibrio di un
tubo di flusso magnetico che presenta un punto di inflessione. Nello
schema
della magnetoidrodinamica ideale, con tecniche di geometria intrinseca
e di
analisi asintotica, si è dimostrato che il tubo magnetico
è in disequilibrio
inflessionale. Si sono quindi analizzate le implicazioni di questo
risultato
sul rilassamento energetico di campi magnetici annodati, come ulteriore
passo
verso la comprensione della problematica relazione tra topologia dei
tubi di
flusso e campo magnetico.
5. Equazioni
solitoniche.
In
questo settore sono state seguite tre linee di ricerca. In (12)
è stata
dimostrata una congettura di Dubrovin sulla classificazione delle
strutture
hamiltoniane di tipo idrodinamico riconducendola ad un problema di
coomologia
di Poisson-Lichnerovicz. In (6) si è mostrato come applicare
le tecniche di
riduzione bihamiltoniana allo studio della gerarchia di Camassa-Holm,
introdotta nel 1993 per descrivere la propagazione di onde in acqua
bassa.
Infine in (19) si sono usati gli operatori di vertice per costruire
rappresentazioni di algebre di Kac-Moody al fine di dare una
interpretazione
unitaria della formulazione bilineare di Hirota delle diverse gerarchie
solitoniche integrabili. Si è dato il primo esempio di
rappresentazione tramite
operatori di vertice di una famiglia di algebre di Lie metriche che non
siano
somma diretta di algebre di Lie semisemplici e abeliane.
6. Algebre e
gruppi di Lie.
In
(10) si è trovato l’equivalente degli angoli di
Eulero per il gruppo di Lie
eccezionale G2. Tale costruzione ha permesso la comprensione della
struttura
dei suoi sottogruppi e della varieta’ quoziente delle
sottoalgebre
quaternioniche negli ottonioni.
Lavori del 2004
(1) L. Berchialla, L. Galgani, A. Giorgilli, Localization of energy in
FPU
chains. DCDS 11 (2004), no. 4, 855—866.
(2) L.Berchialla, A.Giorgilli, S.Paleari:
Exponentially
long times to equipartition in the
thermodynamic limit,
Phys. Lett. A321, 147-204 (2004)
(3) C.
Efthymiopoulos; A. Giorgilli, G.
Contopoulos, Nonconvergence of formal integrals. II. Improved estimates
for the
optimal order of truncation. J. Phys. A 37 (2004), no. 45,
10831—10858.
(4) N. H.
Ibragimov,
F. Magri, Geometric
proof of Lie's
linearization theorem. Nonlinear Dynam. 36 (2004), no. 1,
41—46.
(5) P.
Lorenzoni, A
bi-Hamiltonian approach to
the sine-Gordon and Liouville hierarchies. Lett. Math. Phys. 67 (2004),
no. 2,
83—94.
(6) P.
Lorenzoni, M.
Pedroni, “On the
bi-Hamiltonian structures of the Camassa-Holm and Harry Dym
equations”,
International Mathematics Research Notice, 75 (2004), pp. 4019-4029.
(7) F. Magri,
“Lenard
chains for Classical Integrable Systems”, Theor. Math. Phys.,
137 (2004), pp.
1716-1723.
(8) F. Magri,
P.
Casati, G. Falqui, M. Pedroni, “Eight Lectures on Integrable
Systems”, Lectures
Notes in Physics 638 (2004), Y. Kosmann-Schwarzbach et al. Editors, pp.
209-247.
(9) G. Ortenzi,
M.
Spreafico, Zeta function regularization for a scalar field in a compact
domain.
J. Phys. A 37 (2004), no. 47, 11499—11517.
Lavori
preparati nel 2004 ma apparsi
nel 2005
M.Bertini, D.
Noja, A. Posilicano,
Rigorous theory of spectra and radiation for a Pauli Fierz model in the
ultraviolet limit, Journal
of
Mathematical Physics, 46, (2005)
(10)S. L.
Cacciatori,
B. L. Cerchiai, A.
Della Vedova, G. Ortenzi,
A. Scotti, Euler
angles for G2. J. Math.
Phys. 46 (2005), no.
8, 083512, 17
(12) L. Degiovanni, F. Magri, V. Sciacca, On deformation of Poisson
manifolds
of hydrodynamic type. Comm. Math. Phys. 253 (2005), no. 1,
1—24.
Preprints
representation
of polynomial Lie algebras, preprint
nlin/0405040,
sottoposto
a
J. Geom. Phys.
Comunicazioni
a convegni
Conferenza
Internazionale
"FPU 50 years since FPU", Roma, 7-8 maggio 2004.
S.
Paleari Equipatition
times in
Fermi--Pasta--Ulam system, Proceedings SPT 2004, Cala Gonone 2004
Voci
su enciclopedie
F.
Magri, M. Pedroni, Recursion Operators in Classical
Mechanics,Encyclopedia of Mathematical Physics,articolo
00147,Elsevier(2005)
Encyclopedia
of Mathematical Physics,Elsevier(2005)
Progetti
e reti
europee
CALCOLO
DELLE VARIAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Componenti
del gruppo di ricerca
:
V. Barutello, S. Bertone, A. Cellina, V. Felli, A. Ferriero, G.
Guerra, E.M. Marchini, S. Terracini
Le ricerca del gruppo vertono su tematiche inerenti al Calcolo delle variazioni, Equaioni di
Eulero-lagrange,
Equazioni differenziali ordinarie
e alle
derivate parziali, problemi di frontiera libera e problemi degli
N-corpi. Ecco
una sintesi dei principali risultati
ottenuti
nel 2004.
Orbite
periodiche per problemi degli N--corpi
I moti di equilibrio relativo corrispondenti alle configurazioni centrali sono senza dubbio
le piu' note
soluzioni periodiche del problema classico degli N-corpi; essi si
possono
caratterizzate dal fatto di possedere una naturale
equivarianza
rispetto
ad una azione S1 e di essere inoltre i minimi dell'azione lagrangiana
nella
classe dei lacci equivarianti rispetto a tale azione.
In diversi recenti lavori questa idea e' stata generalizzata e sono
state
utilizzate le molteplici invarianze dell'equazione degli N-corpi per
costruire
nuove traiettorie periodiche tramite un principio variazionale in
presenza di
simmetrie spazio--temporali. Queste traiettorie costituiscono
la
naturale
estensione dei moti di equilibrio relativo. Nel lavoro [FT]si
stabiliscono i
concetti fondamentali e si gettano la basi di un metodo generale per
costruire
spazi di lacci equivarianti adatti all'applicazione di un principio di
minima
azione in presenza di simmetrie; inoltre viene stabilito un criterio
(la
``rotating circle property'') che assicura che le traiettorie minimali
non
abbiano collisioni (parziali o totali). Nel caso dei 3 corpi
si
e' potuto
andare oltre, pervenendo in BFT alla completa classificazione delle
simmetrie e
dimostrando che i minimi equivarianti non possono mai presentare
collisioni,
anche qualora la ``rotating circle property'' sia
violata.
Nel
lavoro [BT] e' stato esaminato il problema della completa
determinazione dei
minimi, nel caso di alcune semplici simmetrie (il vincolo di
``coreografia
semplice'') e sono stati ottenuti alcuni risultati di esistenza di
soluzioni
non banali. Nel lavoro [TV] e' stata infine trattato una caso di una
condizione
mista geometrico-topologica che da' luogo a traiettorie minimali non
banali e
senza collisioni. Il risultato e' stato ottenuto tramite una
particolare
tecnica di geodetiche con ostacolo.
Problemi
del Calcolo delle Variazioni e metodi dalla Teoria del Controllo Ottimo
Sono stati affrontati problemi relativi alle proprietà delle
soluzioni
di
problemi variazionali legate al principio di massimo forte; nel lavoro
[BCM] e'
stata proposto un criterio per l'estensione della validità
di questo
principio
al caso di funzionali non radialmente simmetrici. E' stato inoltre
affrontato
il problema della validità del principio di Fermat
nell'ambito
del
Calcolo delle Variazioni ([CFM]). Il lavoro [C] contiene una
rivisitazione del
Principio di Massimo di Pontriangin alla luce degli attuali strumenti
di
analisi sviluppati nell'ambito dei problemi non standard del Calcolo
delle
Variazioni
Sistemi
iperbolici e leggi di conservazione
E' stato ottenuto un risultato di unicità e dipendenza
continua della
soluzione
per il problema di Cauchy per una classe di leggi di conservazione
scalari con
sorgente non conservativa, esprimibile cioè come prodotto di
una misura
per una
funzione discontinua. Inoltre tali soluzioni sono state caratterizzate
attraverso limiti di soluzioni classiche di Kruzkov.
Sistemi
ellittici con forte interazione e partizioni ottimali
Sono stati esaminati alcuni aspetti analitici connessi al fenomeno
della
segregazione per sistemi di popolazioni fortemente competitivi. Un
punto di
interesse della ricerca riguarda l'analisi asintotica delle soluzioni
stazionarie di sistemi sia ellittici, quando i coefficienti di
competizione interspecifica
tendono all'infinito. Al fenomeno di segregazione sono stati associati,
in
precedenti lavori, alcuni problemi di partizione ottima del dominio e
problemi
di frontiera libera, analogamente e quanto fatto nella letteratura
esistente,
principalmente nel caso di due densità in competizione. Nel
lavoro
[CTV1] viene
studiato il problema della energia minima per sistemi di k
densità, con
condizioni al contorno fissate, sotto il vincolo che i supporti siano
mutuamente disgiunti. Nel
lavoro [CTV2]
si studia un analogo problema di partizione ottimale, ma per funzionali
che
coinvolgono gli autovalori lineari degli elementi della partizione. Si
mostra
che opportune riscalate delle autofunzioni associate ai primi
autovalori della
partizione minimale appartengono ad una classe funzionale del tipo
descritto in
precedenza. Come
applicazione dei
risultati ottenuti, si propone una nuova caratterizzazione variazionale
della
prima curva dello spettro di Fucik (sia per operatori lineari che
quasilineari), ed inoltre alcune varianti delle formule di monotonia di
Alt-Caffarelli-Friedman che portano, in dimensione 2, ad alcuni teoremi
di tipo
Liouville [CTV3].
Equazioni
di Schroedinger nonlineari con potenziali di tipo Hardy.
E' stata studiata una classe di equazioni di Schroedinger non lineari
con
potenziale singolare (nel caso di uno o piu' poli). Le
principali
caratteristiche del problema sono la non linearità
con crescita
critica
nel senso delle immersioni di Sobolev e la presenza di un
potenziale
singolare con la stessa omogeneità. L'interesse nello studio
di questi
problemi
sorge in vari contesti, quali la meccanica quantistica, l'astrofisica e
la
fisica molecolare.
Nel lavoro [FT1] si e' studiato in particolare il problema
dell'esistenza
di soluzioni di tipo “torre'', cioe' il cui profilo si
ottiene dalla
sovrapposizione di profili con diversi fattori di
riscalamento.
Si e'
utilizzato un metodo perturbativo basato su una
riduzione
finito-dimensionale.
Si sono poi considerate equazioni di Schroedinger nonlineari con
potenziali
multi-polari di tipo Hardy.
Risonanze
e biforcazioni per catene di Fermi--Pasta--Ulam
Oggetto
del lavoro [AKT] sono le traiettorie periodiche di un reticolo di
particelle,
dal punto di vista della teoria delle biforcazioni. Tra queste, vi sono
le ben
note orbite di Lyapunov, ovvero i rami di biforcazione primaria che si
originano in corrispondenza ai sottomultipli delle frequenze proprie
dei modi
normali. Nel lavoro si suggerisce la presenza di un originale
meccanismo di
biforcazione secondaria, dipendente da fenomeni di concentrazione delle
frequenze di biforcazione primaria: l'efficacia del meccanismo viene
verificata
sperimentalmente, sia dal punto di vista numerico, sia per mezzo di
dimostrazioni assistite dal calcolatore. Il successivo lavoro [MSTT]
esplora
la natura variazionale del fenomeno di biforcazione
secondaria in
relazione con la presenza di ``quasi risonanze'' fra le frequenze
caratteristiche associate al sistema linearizzato. In esso si utilizza
un
criterio di biforcazione secondaria in connessione coi salti
dell'indice di
Morse lungo i rami primari: ad ogni variazione nell'indice corrisponde
un ramo
secondario di soluzioni. Si e' analizzato il nesso fra
quasi--risonanze e
salto dell'indice di Morse e si e' pervenuti ad una
giustificazione
rigorosa della numerosa famiglia di biforcazioni individuata in [AKT].
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LAVORI
SCIENTIFICI PUBBLICATI NEL 2005
[C]
Cellina,
Arrigo The Euler Lagrange equation and
the Pontriagin maximum principle. Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic.
Ric.
Mat. (8) 8 (2005), no. 2, 323--347.
[CTV1]
Conti, Monica; Terracini, Susanna; Verzini,
Gianmaria, A variational problem for the spatial segregation of
reaction-diffusion systems. Indiana Univ. Math. J. 54 (2005), no. 3,
779--815.
Felli, Veronica A note on the
existence of $H$-bubbles
via perturbation methods. Rev. Mat. Iberoamericana 21 (2005), no. 1,
163—178.
PUBBLICAZIONI
IN
CORSO DI STAMPA, RAPPORTI INTERNI E PREPRINT
Partecipazioni
e comunicazioni a
convegni
V.
Barutello: Institut de Mécanique Céleste et de
Calcul des Ephémérides (IMCCE),
Observatoire de Paris Unit\'e UMR 8028 du CNRS,
Parigi, Francia; (conferenza su invito).
A.
Ferriero:
02/01-06, Meeting on Geometric Measure Theory and the Calculus of
Variations, Levico Terme, Italy.
G, Guerra:
Well-posedness
for a Scalar Conservation Law with Singular
Non-conservative Source. SIAM
Conference on Analysis of Partial
Differential Equations -- Houston, Texas -- dal 06/12/04 al
08/12/04.
S. Terracini: FPU 50 years since FPU'', Dipartimento di Fisica,
Università di
Roma la Sapienza, 7--8 maggio 2004.
S. Terracini: Giornata sulle Equazioni Funzionali'' in onore di F.
Skof,
Torino, 28 maggio 2004, titolo: ``Sul problema periodico degli N
corpi''
S. Terracini:Symmetry and perturbation methods, Cala Gonone (NU), 30
maggio- 6
giugno 2004
S: Terracini: V Workshop on nonlinear differential Equations'',
Campinas
(Brasile), 7-11 giugno 2004
Organizzazione
convegni
Componenti
del gruppo di ricerca: R. Paoletti, R.
Piccinini
Alcuni dei
temi di ricerca in geometria riguardano la “Topologia
Simpliciale”, ed
i Gruppi
di Gauge e, in particolare si vuole evidenziare il punto di vista
strettamente simpliciale
nello studio di
problemi match di Topologia Algebrica, mentre sui gruppi di Gauge si
studiano
le classi di coniugio, di gruppi di Gauge dei fibrati principali su
varietà
Riemanniane.
Un altro
filone di ricerca riguarda le azioni di gruppi di Lie su
varietà
algebriche e
simplettiche, nell’ambito della quantizzazione geometrica
equivariante.
In
particolare, tra gli aspetti simplettici di un’azione
Hamiltoniana,
descritti
dalla mappa momento, e gli aspetti asintotici della rappresentazione
unitaria
di G su certi spazi di sezioni (olomorfe nel caso algebrico) di fibrati
in
rette.
Il legame
tra la geometria dell’azione e l’analisi armonica
asintotica di tali
rappresentazioni è studiato principalmente attraverso metodi
microlocali,
basati sulla rappresentazione del nucleo di Szego come operatore
integrale di
Fourier.
Un
argomento di
ricerca riguarda la relazione tra il nucleo di Szego di una
varietà
proiettiva
complessa e quello di un suo quoziente per l’azione di un
gruppo di Lie
compatto. Si è studiato in particolare da un punto di vista
metrico il
comportamento asintotico dell’isomorfismo tra sezioni
G-invarianti del
fibrato
polarizzante e le sezioni del fibrato indotto sul quoziente.
E’
stato inoltre
approfondito il comportamento asintotico della dimensione delle serie
lineari
equivarianti in presenza di singolarità della mappa momento,
e certe
tematiche
in quantizzazione geometrica legate alla relazione tra
sottovaietà
lagrangiane
e sezioni olomorfe di un fibrato in rette.
Lavori
pubblicati nel 2004
Lavori
fatti nel 2004 usciti nel 2005 o in corso di stampa
R.
Piccinini : Strutture Simpliciali in Topologia, in corso di stampa.
Preprint
R.
Paoletti : Moment maps and equivariant volumes (con Alberto Della
Vedova)
Comunicazioni
a convegni:
ANALISI
ARMONICA E ANALISI
FUNZIONALE
Componenti
del gruppo di ricerca : D. Bertacchi,
L.
Colzani, L. De
Michele, M. Di Natale, L. Fontana,
G.
Kuhn, S. Levi, M. Mauri, S. Meda, , D. Roux, P.M. Soardi, G.
Travaglini, M.
Vallarino
Le
ricerche in corso nel settore dell’Analisi Armonica investono
diversi
aspetti :
Serie di Fourier e trasformate di Fourier; sviluppi in serie di
autofunzioni di
operatori differenziali; sviluppi in ondine e Frames; realizzazione di
rappresentazioni di gruppi associati a strutture discrete.
In maggior
dettaglio, in ambito classico, sono
studiati problemi di decadimento puntuale ed in media di trasformate di
Fourier. Stime sul numero di punti a coordinate intere contenuti in
corpi
convessi. Sommabilità di serie ed integrali di Fourier
rispetto al
sistema
trigonometrico ed altri sistemi di funzioni speciali. Problemi di
“overshooting” connessi a nuclei di
sommabilità per serie ed integrali
di
Fourier multidimensionali. Sviluppi in serie di
“ondine”. Costruzione
di
“Frames affini” generati da box spline
multivariante non con numero di
ondine
minimale. Elaborazione di nuove tecniche basate sul principio di Rao e
Shen per
la costruzione di filtri ed ondine. Realizzazione di rappresentazioni
di gruppi
di automorfismi di alberi omogenei sulla loro frontiera. Problematiche
di
trasferenza di operatori limitati sugli spazi di Lebesgue. Studio di
operatori
differenziali invarianti su gruppi di Lie e spazi simmetrici.
Semigruppi
markoviani.
Nell’ambito
degli operatori differenziali su gruppi si stanno affrontando problemi
connessi
a disuguaglianze sharp del tipo Moser-Trudinger per operatori legati al
sublapalcaino sul gruppo di Heisenberg.
Nel settore
dell’analisi funzionale oltre a problematiche connesse
all’analisi
multivoca si
sono studiati metodi generali per generare convergenze
d’insieme a
partire da
ricoprimenti dello spazio, in particolare nell’ottica di dare
condizioni
necessarie e sufficienti affinchè ricoprimenti diversi
generino la
stessa
convergenza, o affinchè un ricoprimento generi la
convergenza
topologica.
Nels
settore di probabilità, altre ricerche riguardano i campi
aleatori e le
passeggiate aleatorie sui grafi.
Sul primo argomento
si sono condotte ricerche
sulla repulsione entropica a cui è soggetta una superficie
di tipo
Gaussiano
(il cosiddetto cristallo armonico) quando la si costringe a stare sopra
un
“muro aleatorio”.
Le
problematiche sulle passeggiate aleatorie su grafi, riguardano lo
studio del
comportamento asintotico di quantità aleatorie sul pettine
bidimensionale al
fine di dimostare l’inomogeneità
e la
Relazione di Einstein.
La
prof.ssa Kuhn ha usufruito di un periodo di congedo per motivi di
ricerca
durante il quale ha visitato il CUNY Graduate Center (New York) e l'Università di
Sassari e di New York, svolgendovi
delle ricerche sulle algebre C* legate al gruppo libero.
PUBBLICAZIONI
Lavori
usciti nel 2004
Kuhn,
M.
Gabriella; Steger, Tim Free group
representations from vector-valued multiplicative functions. I.
Israel J. Math. 144 (2004), 317—341.
Travaglini, Giancarlo Average decay of
the Fourier
transform. Fourier analysis and convexity, 245--268, Appl. Numer.
Harmon.
Anal., Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2004.
Lavori
usciti nel 2005:
Preprint
e lavori in corso di stampa:
L. De Michele, D. Roux : “Gibbs Phenomenon and surface
area”,
Proceeding
American Society, in corso di stampa
of the free group in collaborazione con
T.
Steger
Partecipazioni
e comunicazioni a convegni
L. Colzani :
"Summability
of Fourier Expansions",
Research Trimester in Harmonic Analysis, Scuola Normale Superiore di
Pisa,
Giugno 2004.
G. Travaglini :
Oberwolfach, Marzo: Average decay of Fourier
transforms, geometry of planar convex bodies, and discrepancy theory.
G.
Travaglini :
Pisa, Maggio: Average decay of the Fourier transform and irregularities
of
distribution.
S.
Levi :
"Total boundedness with respect to a cover" al convegno di analisi
reale Cartemi.
S.
Meda : Special
trimester in Harmonic Analysis, Pisa,
aprile 2004 (su invito).
S.
Meda : Conference
to celebrate Garth Gaudry's contribution to
mathematics, Sydney, maggio 2004 (su invito).
(c) Convegno
nazionale di Analisi Armonica,
Sestri Levante, marzo 2004.
Titoli: Moser-Trudinger Inequalities in the Euclidean
setting
e Moser-Trudinger Inequalities on the Heisemberg Group
and
on
CR-Manifolds (aprile 2004)
Le
ricerche in questo settore riguardano:
Studio di nuove basi
definite come combinazione di basi per le quali si possano garantire
buone
proprietà di stabilità mantenendo la matrice di
interpolazione definita
positiva.
Applicazioni alla
teoria
della turbolenza.
Questo ha
portato ad estendere l’algoritmo delle Basi di Grubner su
interi e
verificare
una ostruzione che indica l’impossibilità della
loro rappresentazione
se il
prodotto delle basi e’ nell’anello
dei
circuiti.
Tale
verifica porta anche a determinare la caratteristica del campo in cui
le
componenti dei vettori si devono ricercare. In particolare si sono
cercate
condizioni per
matroidi
di rango 3 rappresentabili con componenti dei
vettori in campo complesso e alla loro disegnabilità. Si
studiano gli
automorfismi delle matroidi per caratterizzare le matroidi non
rappresentabili attraverso
gli elementi
fissi degli automorfismi che formano una base.
Lavori
pubblicati nel 2004
Lavori
apparsi nel 2005:
Partecipazioni
e comunicazioni a convegni
Le equazioni differenziali stocastiche retrograde (o
backward) sono equazioni stocastiche nel senso di Ito in cui
è fissato il dato finale e si richiede che la soluzione sia
adattata alla filtrazione del rumore browniano.
Introdotte nel caso non lineare da E. Pardoux e S. Peng (1990), negli
anni seguenti hanno giocato un ruolo importante in molti settori
teorici e applicati: la teoria delle equazioni paraboliche
non
lineari, il controllo stocastico, i giochi differenziali, le
applicazioni finanziarie: si vedano i libri N. El Karoui e L.
Mazliak eds. (1997), Ma e Yong (1999) e la rassegna di E.
Pardoux
(1999).
I nostri contributi recenti hanno avuto i seguenti oggetti:
In [3] si studia un sistema 'forward-backward' di equazioni
differenziali stocastiche in spazi di dimensione infinita e le sue
relazioni con una classe di equazioni semi-lineari paraboliche in spazi
di Hilbert. Si mostra come la formula di rappresentazione stocastica
permetta di costruire una soluzione dell'equazione di
Hamilton-Jacobi-Bellman e di dimostrarne l'unicità in una
classe di funzioni reali localmente-lipschitziane.
L'equazione di
Hamilton-Jacobi-Bellman è intesa in un senso 'mild' che
necessita l'introduzione di una nozione di gradiente
stocastico
generalizzato. Tale nozione è introdotta nel lavoro grazie a
un
argomento probabilistico e si dimostra che il gradiente
generalizzato esiste per tutte le funzioni localmente
localmente-lipschitziane e con opportune condizioni di crescita.
I risultati ottenuti sono applicati a problemi di finanza matematica
(prezzaggio di opzioni) che nel controllo ottimale (ad esempio il
controllo di equazioni con ritardo e equazioni di reazione-diffusione)
in cui la mancanza di differenziabilità dei coefficienti e
la
degenericità dell'equazione rendono naturale aspettarsi
soluzioni non differenziabili delle equazioni di
Black-Scholes e
di Hamilton-Jacobi-Bellman associate.
In [6] si considera un problema di controllo ottimale per un'equazione
del calore in cui sia il rumore che il controllo agiscono
sulla
frontiera. In questo caso l'equazione di
Hamilton-Jacobi-Bellman
è, da una parte, fortemente degenere e dall'altra contiene
termini non limitati sia nell'operatore del secondo ordine che nella
non-linearità. Malgrado questo la condizione strutturale
indispensabile a trattare un problema di controllo via equazioni
retrograde (cioè la richiesta che l'immagine del controllo
sia
inclusa in quella del rumore) è soddisfatta.
L'obbiettivo di [7] è quello di trattare un problema di
controllo ottimo degenere e non-lineare in una situazione in cui
l'insieme dei controlli ammissibili non sia limitato.
In particolare consideriamo il caso in cui il 'drift' abbia crescita
lineare nel controllo e il costo crescita quadratica, inoltre i
controlli hanno valori in un generico insieme chiuso non
necessariamente limitato. Tale problema si rivela essere legato a una
classe di equazioni differenziali retrograde con valore finale non
limitato e crescita quadratica nel termine martingala recentemente
studiate da P. Briand e Y. Hu.
In [2] e [9] si considera il caso di un problema di
controllo a orizzonte infinito e la relativa equazione di
Hamilton-Jacobi-Bellman ellittica (degenere). Il corrispettivo in
termini di equazioni retrograde stocasticge e' lo studio
delle
soluzioni limitate di equazioni retrograde con tempo che varia
nell'intero semiasse positivo. In [1] si affronta il caso generale con
condizioni tecniche sul decadimento esponenziale del costo.
Tali
condizioni sono rimosse in [9] in alcuni casi particolari.
In [1] si pone in relazione l'esistenza di un controllo ottimo per un
problema in formulazione forte (cioe' con spazio probabilizzato e
'noise' fissati) e l'esistenza di soluzioni di un opportuno sistema
'forward-backward' fortemente accoppiato
(cioe' in cui la soluzione dell'equazione 'backward' compare come
parametro nell'equazione 'forward'). Utilizzando risultati e esistenza
locale per i sostemi accoppiati si prova quindi l'esistenza del
controllo ottimo.
In [4] si e' intrapreso lo studio dei problemi di controlo ottimo con
coefficienti stocastici. In particolare si considera il caso del
probelma lineare quadratico in spazi di Hilbert in cui i coefficientie
e il costo siano operatori lieari aleatori. L'equazione di
Hamilton-Jacobi prende in questo caso le forma di un'equazione di
riccati stocastica retrograda in spazi di Banach. I risultati generali
ottenuti sono poi applicati al controllo di un eqyuazione con ritardo o
di un' equazione delle onde con smorzamento aleatorio
CONTROLLABILITA' e
VIABILITA' DI EQUAZIONI STOCASTICHE CON CONTROLLO
Si tratta di caratterizzare i sistemi stocastici controllati per i
quali sia possibile scegliere un controllo che faccia raggiungere allo
stato un obettivo fissato (controllabilita') o che lo mantenga in
un'area assegnata dello spazio (viabilita').
In [5] vengono caratterizzati i sistemi lineari e finito dimensionali
il cui stato puo' essere portato arbitrariamente vicino a zero
(controllabilita' approssimta a zero). Utilizzando argomenti di
dualita' e caratterizzazioni del nucleo di viabilita' pr l'equazione
duale (retrograda) si arriva a un algoritmo esplicito e facilmente
computabile.
In [8] ci si occupa delle condizioni di viabilita' per insiemi convessi
relativamente ad un' equazione differenziale stocastica in spazi di
Hilbert. In particolare si mostra che se un insieme e viabile allora il
quadrato della distanza da esso e' soluzione di viscosita' di un
equazione di Hamilton-Jacobi_Bellman in spazi di dimensione infinita
(nel senso introdotto da Lions Ishi e Swiech).
PUBBLICAZIONI
[1] M. Fuhrman, G. Tessitore, Existence of optimal stochastic controls
and global solutions of forward-backward stochastic differential
equations. SIAM J. Control Optim. 43
(2004),
no. 3, 813--830.
[2] M. Fuhrman, G. Tessitore, Gianmario Infinite horizon
backward
stochastic differential equations and elliptic equations in Hilbert
spaces. Ann. Probab. 32 (2004), no. 1B, 607--660.
[3] M. Fuhrman, G. Tessitore, Generalized Directional Gradients,
Backward Stochastic Differential Equations and Mild Solutions of
Semilinear Parabolic Equations, Applied Mathematics and Optimization.
51 (2005), 279-332.
[4] G. Guatteri, G. Tessitore, On the Backward Stochastic Riccati
Equation in Infinite Dimensions, SIAM J. Control and Optimization, 44
(2005), 159-194.
[5] R. Buckdan, M. Quincampoix, G. Tessitore, A Characterization of
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in: Stochastic Partial Differential Equations and Applications VII,
Editors: G. da Prato et al., Lecture Notes in Pure and Applied
Mathematics, CRC Press, Taylor & Francis Group , 2005.
[6] A. Debussche, M. Fuhrman, G. Tessitore, Optimal
Control
of a Stochastic Heat Equation with Boundary-noise and Boundary-control,
in corso di stampa su Control, Optimisation and Calculus of Variations
[7] M. Fuhrman, Y. Hu, G. Tessitore, On a Class of
Stochastic Optimal Control Problem Related to BSDEs with Quadratic
Growth. Preprint IRMAR Rennes, 2005.
[8] R. Buckdan, M. Quincampoix, G. Tessitore, Viability for SDEs in
Infinite Dimensions.
Preprint Universite de Brest, 1995
[9] Y. Hu, G. Tessitore, BSDE on an infinite horizon and
elliptic
PDEs in infinite dimension. Preprint IRMAR Rennes, 2005.
PUBBLICAZIONI
SCIENTIFICHE DEL 2004
Abdellaoui,
B.; Peral, I.; Felli, V. Existence and
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the critical Sobolev exponent in the whole of $\Bbb R\sp N$. Adv.
Differential
Equations 9 (2004), no. 5-6, 481--508.
Amadori,
Debora; Gosse, Laurent; Guerra, Graziano
Godunov-type approximation for a general resonant balance law with
large data.
J. Differential Equations 198 (2004), no. 2, 233--274.
Ambrosetti,
Antonio; Felli, Veronica; Malchiodi,
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Naz. Lincei
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FINITE ELEMENT METHODS: 1970’S AND BEYOND, collection of the
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LAVORI
DIDATTICI E DIVULGATIVI DEL 2004
M. Cazzola ``'Simmetria,
giochi
di specchi' in un curriculum per i futuri insegnanti'', L'insegnamento
della
Matematica e delle Scienze integrate, Vol.~27A, n.~1 (2004), 37--56.
M.
Cazzola : CD-Rom ``matemilano, percorsi matematici in
città'' (con
Marina
Bertolini, Maria Dedò, Simonetta Di Sieno, Emma Frigerio,
Domenico
Luminati,
Gianluca Poldi, Marta Rampichini, Italo Tamanini, Gian Marco Todesco,
Cristina
Turrini), Kangarou Italia (2004). Il Cd è risultato
vincitore del
Premio
generazione Alice al Pirelli INTERNETional Award.
G.
Travaglini: Crittografia, Emmeciquadro - Scienza Educazione e
Didattica
21 (2004), 21-28.
LIBRI
G.
Travaglini : Fourier Analysis and convexity,
Applied and Numerical Harmonic Analysis, 2004 , Birkhauser (con L.
Brandolini,
L. Colzani and A. Iosevich – Editors).
LAVORI
SCIENTIFICI DEL 2004 APPARSI NEL 2005
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Ambrosetti,
Antonio; Felli, Veronica; Malchiodi,
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potentials
vanishing at infinity. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 7 (2005), no. 1,
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Arioli,
Gianni; Koch, Hans; Terracini, Susanna Two
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Comm. Math. Phys. 255 (2005), no. 1, 1--19.
M.Bertini,
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Barbara; Bozzini, Mira; Rabut, Christophe;
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no. 3,
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Bertaccini,
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Stefano; Possio, Cristina Tablino Preconditioned HSS methods for the
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